Возможности оценки и некоторые закономерности формирования погрешностей геофильтрационных моделей
logo1-color


Возможности оценки и некоторые закономерности формирования погрешностей геофильтрационных моделей

Техногенные изменения гидрогеологических условий в районах интенсивной водохозяйственной деятельности оказывают значительное влияние на условия хозяйственного освоения обширных территорий. Это повышает требования к гидрогеологическому прогнозированию, и всё большее значение приобретают количественные методы прогноза. Для выполнения прогнозных решений строятся математические модели, описывающие процессы геофильтрации, геомиграции и влагопереноса. Наиболее распространённый их тип - геофильтрационные модели.

Основные принципы построения геофильтрационных моделей и результаты их практических приложений для реализации различных прогнозов изложены в значительном количестве работ, например, [1, 2, 3, 6, 7, 11]. В части их изложены общие методологические вопросы оценки их адекватности, однако вопросы оценки погрешностей этих моделей, как количественной меры их соответствия (адекватности) гидрогеологическим объектам рассматривались относительно мало. Вместе с тем количественный анализ адекватности имеет решающее значение при обосновании расчётной схемы модели и методики её реализации. В связи с методологической неразработанностью этого вопроса существует неопределенность в оценке реальных возможностей и прикладного значения методов математического моделирования применительно к анализу и прогнозу гидрогеологических условий для данного уровня их изученности. При этом вследствие многих причин следует согласиться с мнением о практической невозможности замкнутости оценок погрешностей геофильтрационых моделей, т.е. оценок, опирающихся только на свойства используемых методов моделирования и качество исходной информации [4]. В подавляющем большинстве случаев, когда требуется оценка погрешности величины, выраженной не одним числом или простой функциональной зависимостью, а полем значений, следует признать практическую невозможность полной в статистическом смысле оценки. Однако может быть получен ряд опосредованных оценок, в частности относительное уменьшение погрешностей в отдельных точках модели по мере её совершенствования. При этом при прогностической целевой направленности геофильтрационных моделей в общем случае следует исходить из того, что адекватность моделей следует оценивать в терминах этой цели [8].

Настоящая работа посвящена формулированию основных принципов подобных оценок. Отметим, что оценка погрешностей должна опираться на сложившуюся методологию построения геофильтрационных моделей, которая исходит из следующих основных положений.

Построение расчётных схем региональных и локальных геофильтрационных моделей производится путём систематизации и комплексного анализа результатов геолого-гидрогеологических и других исследований. На основании этого устанавливаются границы области моделирования, общая структура модели, значения параметров, граничных и начальных условий. Построение параметрических карт, схем граничных и начальных условий производится с использованием гидрогеодинамического районирования территории, отражающего связь между гидрогеологическим её строением и величинами параметров, значений граничных и начальных условий, определённых в отдельных точках. В соответствии с (Рац В.М., Чернышёв С.Н., 1970) гидрогеологическое районирование можно сопоставить с выделением неоднородности низшего порядка. Привлечение наряду с количественными качественных результатов геолого-гидрогеологических исследований, осуществляемое при гидрогеодинамическом районировании территории, обеспечивает ‘’геологическое соответствие’’ (Фельдман А.В., 1983) между моделью и исследуемым объектом.

В результате указанных исследований существующие представления о гидрогеологическом строении территории трансформируются в расчётную схему геофильтрационной модели, в которой поставленная задача формулируется в математической постановке. Далее основная задача моделирования состоит в гидродинамическом согласовании существующей информации в рамках разработанной расчётной схемы. Выполнение этой задачи производится путём решения задач при воспроизведении естественного, слабонарушенного и нарушеннго режима геофильтрации. При выполнении этих решений в выделенных при районировании зонах путем варьирования в ранее выбранных пределах значений параметров, граничных или начальных условий достигается оптимальное соответствие между фактическими и модельными значениями напоров подземных вод. Варьирование параметров в пределах зон можно соотнести с эффективной неоднородностью, обуславливающей статистический разброс результатов экспериментов. Вследствие сложности и значительной неопределённости геофильтрационных моделей наиболее распространенным методом решения обратных задач является перебор вариантов. При этом существенную роль играют субъективные факторы.

В результате решения обратных задач достигается функциональное подобие между объектом и его модельным аналогом (Пашковский И. С.), и модель воспроизводит режим уровня подземных вод с точностью, определяемой количеством и качеством натурной информации, а также предпосылками идеализации и схематизации. Функциональное подобие предполагает некоторую степень совместности модели [3] - соответствия сформулированной краевой задачи моделируемым гидрогеодинамическим процессам.

Цикл задач по моделированию завершается серией прогнозных решений, их количество и виды определяются существующими и проектируемыми водохозяйственными мероприятиями. В общем случае на стадии прогноза погрешность геофильтрационных моделей не меньше погрешности на стадии решения обратных задач. На этой завершающей стадии прогнозные модели должны интерполяционно учитывать не только информацию о гидрогеологических особенностях изучаемого объекта, но и существующие данные о влиянии на режим и баланс подземных вод водохозяйственных объектов, действующих на данной территории. Таким образом, осуществляется преемственность стадий моделирования. При этом согласно принципу обратной связи схематизация должна выполняться таким образом, чтобы ‘’наряду с эквивалентностью математической модели результатам режимных наблюдений обеспечивался инженерных запас при прогнозных оценках. Введение коэффициента запаса является формальным признаком недостаточной изученности объекта исследований’’[8].

Понятия ‘’геологическое соответствие’’ и ‘’функциональное подобие’’ характеризуют качественную сторону соответствия между геофильтрационной моделью и гидрогеологической системой. При оценке погрешностей геофильтрационной модели, как количественной меры её адекватности, следует опираться на представление о приближённости любой модели и характерные свойства гидрогеологических систем, как источников информации для построения моделей. Эти свойства связаны, в первую очередь, со значительным дефицитом достоверной опытной информации о структуре и параметрах горизонтов подземных вод. Из этого следует структурная и информационная ненадежность геофильтрационной модели, принципиальная невозможность существования единственного для данной расчетной схемы решения геофильтрационной модели и, следовательно, практическая значимость определения только относительного изменения погрешности геофильтрационной модели в отдельных её точках, как меры её улучшения или ухудшения. В связи с этим в большинстве случаев существует одноцелевая направленность моделирования, необходимость поиска оптимальной для данной степени изученности и поставленных задач геофильтрационной модели и оптимального решения из области возможных решений. Далее для определённости под оптимальным решением будем понимать модельное распределение напоров подземных вод, имеющее минимальное значение суммы модулей невязок (отклонений) между некоторыми фактическими и модельными значениями напоров подземных вод. Ширина диапазона возможных решений принципиально может быть оценена в пределах всей области моделирования, текущая погрешность δН - только в точках с замеренными значениями напоров подземных вод. Таким образом, основной характеристикой является текущая погрешность δН, её дополняет ширина диапазона возможных решений δоН, которая приближённо характеризует величину погрешности.

Выбор решения из рассматриваемой области может определяться практическими приложениями модели, в частности необходимостью создания инженерного запаса прочности при моделировании.

В соответствии области возможных решений могут быть поставлены области возможных значений параметров, граничных, начальных условий и расходов подземных вод.

Возможности использования расходных характеристик для оценки погрешности геофильтрационной модели ограничены, в основном, в связи с гораздо меньшим объёмом измерений и использованием этих характеристик при задании граничных условий.

Погрешность геофильтрационной модели может быть представлена в виде таблицы отклонений или семейства функционалов. Функционалы невязки могут быть получены путём суммирования модулей отклонений между модельными и фактическими значениями напоров [3], квадратов отклонений и т.п. Форма выражения погрешностей в виде функционалов невязки наиболее удобна при зональных или кусочно-постоянных распределениях параметров, при которых в пределах каждой зоны с постоянным значением параметра выделяется своя система реперных точек. Соответственно, выделяется система зональных функционалов, в которых суммирование невязок осуществляется в пределах каждой зоны отдельно, и общий функционал, представляющий собой сумму зональных функционалов. Таким образом, с помощью относительно небольшого набора чисел интегрально характеризуется вся область моделирования. При этом поиск решения выражается через определение минимальных значений указанной выше системы функционалов и осуществляется путём варьирования зональных значений параметров в пределах диапазона их возможных изменений.

Отметим, что возможен путь оценок погрешностей геофильтрационных моделей, использующий идеи метода возмущений [10] и сочетание детерминированных моделей с элементами вероятностно-статистического подхода [12]. Описанный подход требует решения значительного объема прямых задач геофильтрации, что может существенно ограничить возможную область его применения.

Рассмотрим далее основные источники формирования погрешностей геофильтрационных моделей.

Общая структура погрешности геофильтрационной модели может быть представлена в следующем виде:

δН = δ иН + δсН + δрН + δинН                       ( 1 )

где:

δН - погрешность геофильтрационной модели;

δи Н - погрешность, обусловленная идеализацией гидрогеологических процессов;

δсН - погрешность, обусловленная схематизацией гидрогеодинамических процессов;

δрН - погрешность, формирующаяся при реализации расчетной схемы модели на ЭЦВМ, аналоговых вычислительных машинах с использованием приближенных методов; для аналитических моделей погрешность реализации равна нулю;

δинН - инструментальная погрешность при определении натурных значений напоров подземных вод.

Основные закономерности, определяющие формирование области возможных решений и погрешности геофильтрационной модели на различных этапах её построения, состоят в следующем.

Идеализация гидрогеологических процессов связана, главным образом, с выделением основных и исключением второстепенных факторов формирования геофильтрационных потоков, а также осуществляется путем объединения этих факторов в расчетной схеме модели. Очевидно, количество учитываемых факторов зависит от поставленных целей и задач. При построении расчётной схемы геофильтрационной модели в качестве основных факторов обычно рассматриваются естественное и нарушенное питание водоносных горизонтов из зоны аэрации, гидрологические условия, время формирования геофильтрационного потока и т. п.

При увеличении количества учитываемых факторов ошибка идеализации уменьшается (аналогично [5]). При расположении факторов по убыванию их значимости каждый следующий учитываемый фактор вносит меньший вклад в ошибку идеализации, и зависимость δиН=f(n) будет иметь вид, близкий к гиперболе (см. рисунок).

statia-12-ris-1

Ошибка схематизации является следствием дефицита и обычной ненадежности исходной информации о гидродинамических характеристиках водоносных горизонтов, существующих на фоне значительной неоднородности их фильтрационных свойств, граничных и начальных условий. Вследствие этого неоднородность параметрических и других характеристик может рассматриваться как статистическая, и карты параметров, схемы начальных и граничных условий могут интерпретироваться как реализации случайных полей [10]. Ошибка схематизации накапливается при увеличении количества учитываемых факторов.

При расположении факторов по убыванию их значимости зависимость δсН=f(n) будет иметь выпуклый вид.

Таким образом, в общем случае следует ожидать, что зависимость суммы погрешностей идеализации и схематизации от количества учитываемых факторов имеет минимум. Этот вывод указывает на существование оптимального для данной степени гидрогеологической изученности территории и поставленной задачи количества учитываемых факторов.

Отметим связь этих выводов с принципом неопределенности, изложенным в работе [9] следующиим образом: ’’с увеличением сложности системы возможность точного, имеющего практическое значение представления, уменьшается’’. В этой же работе сформулировано следствие из принципа неопределённости: ‘’неопределённость решения увеличивается при более глубоком анализе реальной задачи’’.

Ошибки, формирующиеся при реализации расчетной схемы модели δрН, определяются используемым методом расчета и техническими средствами, привлекаемыми для выполнения вычислений. Так, конечно-разностные и конечно-элементные методы расчета предполагают образование ошибки аппроксимации и ошибки, формирующейся при организации итерационных процедур. Очевидно, выбор способа реализации расчетной схемы модели должен быть таким, чтобы соблюдалось условие:

δиН + δсН >> δрН.                                 (2)

Инструментальная погрешность δинН обычно много меньше погрешностей, обусловленных идеализацией гидрогеологических процессов, схематизацией гидрогеодинамических условий и реализацией расчетных схем.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ.

1. Основной объективной характеристикой погрешностей геофильтрационной модели являются отклонения модельных значений напоров подземных вод от фактических, измеренные в реперных точках, значительно реже - отклонения модельных значений расходов подземных вод от измеренных в натуре.

2. Основное практическое значение имеет определение относительного изменения погрешностей, как меры улучшения или ухудшения моделей Оценка относительного изменения погрешностей производится для геологически обоснованных, функционально подобных и совместных по используемым дифференциальным уравнениям и краевым условиям геофильтрационным моделям после согласования их расчетных схем в рамках исходных предпосылок идеализации и схематизации гидрогеологических условий исследуемой территории.

3. Наиболее удобна функциональная форма выражения погрешностей, в частности - сумма модулей отклонений между модельными и фактическими значениями напоров подземных вод. Решение геофильтрационной задачи соответствует некоторому оптимальному соотношению модельных и фактических значений напоров подземных вод, выбранному из области возможных решений соответственно поставленным целям и определяемому по минимальному значению функционалов.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Андерсон М.Г., Берт Т.П. Стратегия моделирования. В кн.’’ Гидрогеологическое прогнозирование’’, под ред. М.Д. Андерсона, Т.П. Берта. - М.: Мир, 1988, с. II-25.

2. Водоватова З.А., Гохберг Л.К., Ефремов Д.И. и др. Методика обоснования региональных гидрогеологических моделей многослойных систем. - М.: Недра, 1982, 147 с.

3. Гармонов И.В., Колотов И.Б., Крашин И.И. Прогноз влияния равнинных водохранилищ на подпор, ресурсы и запасы подземных вод. - М.: Недра, 1985, 157с.

4. Гороховский В.М. Математические методы и достоверность гидрогеологических и инженерно-геологических прогнозов. - М.: Недра, 1977.

5. Гречищев С.Е., Чистотинов Л.В., Шур Ю.Л. Криогенные физико-геологические процессы и их прогноз. - М.: Недра, 1980, с. 11 - 17.

6. Крашин И.И. Моделирование фильтрации и теплообмена в водонапорных системах . - М.: Недра, 1976, с. 63 - 76.

7. Ломакин Е. Л., Мироненко В.А.,Шестаков В. М. Численное моделирование геофильтрации. - М.: Недра, 1988, с.109 -166

8. Норватов Ю. А. Изучение и прогноз техногенного режима подземных вод (при освоении месторждений полезных ископаемых). - Л.: Недра, 1988, с. 102 - 106.

9. Огибалов П. М., Мирзаджанзаде А. Х. Механика физических процессов. Изд-во МГУ, М., 1976, с.25

10. Швидлер М.И. Статистическая гидродинамика пористых сред. - М.: Недра, 1985, с. 5-16

11. Язвин Л. С. Достоверность гидрогеологических прогнозов при оценке эксплуатационных запасов подземных вод. Автореферат докторской диссертации, ВСЕГИНГЕО, М., 1972 г.

12. Johan Andersson, Bjorn Dverstorp. Conditional simulations of fluid flow in three - dimensional networks of discrete fractures. Water Resources Research, vol. 23, NO 10, pages 1976- 1886, October 1987.